第五章

2024/11/1

第5章回溯法

5.1 回溯法简介

回溯法是一种系统的搜索策略，广泛应用于解决组合优化问题。它通过构建解空间树，逐步探索可能的解，并在发现当前路径无法得到有效解时进行回溯，从而避免无谓的搜索。

5.1.1 回溯法的关键概念

解空间：问题所有可能解的集合。
解向量：用一个n元组 (x₁, x₂, ..., xₙ) 表示问题的解，其中每个 xᵢ 代表解的一个组成部分。
显式约束：对解向量中各分量 xᵢ 的取值进行限制。
隐式约束：为了满足问题的整体解，还需要对不同分量之间施加约束。

5.1.2 回溯法的基本思想

回溯法通过深度优先的方式系统地搜索问题的解空间树。当遇到一个结点时，判断该结点是否满足约束条件：

如果满足，则继续向下扩展。
如果不满足，则回溯到上一个结点，尝试其他可能的路径。

回溯法适用于解决诸如组合问题、排列问题、子集问题等，需要在解空间中进行系统搜索的问题。

5.2 回溯法的设计策略

5.2.1 定义问题的解空间

在应用回溯法解决问题之前，首先需要明确问题的解空间，即所有可能的解的集合。这通常可以通过构建解空间树来表示。

5.2.2 确定解向量和约束条件

解向量：用一个n元组 (x₁, x₂, ..., xₙ) 表示问题的解，其中每个 xᵢ 代表解的一个组成部分。
显式约束：对解向量中各分量 xᵢ 的取值进行限制。
隐式约束：为了满足问题的整体解，还需要对不同分量之间施加约束。

5.2.3 回溯法的基本步骤

初始化：定义解空间树的根结点，并初始化相关变量。
扩展结点：按照一定的规则生成子结点。
约束检查：判断当前结点是否满足约束条件。
回溯：如果当前结点不满足约束条件，则回溯到上一个结点，尝试其他路径。
终止条件：当所有结点都被搜索完毕，或找到满足条件的解时，终止搜索。

5.3 回溯法的实现

5.3.1 回溯法的递归实现

回溯法通常通过递归实现，每次递归尝试在当前结点的基础上扩展一个新的分量，并检查约束条件。

public class BacktrackingExample {
    static int bestSolution = Integer.MIN_VALUE;
    static int[] bestX;
    static int n = 3; // 物品数量
    static int C = 30; // 背包容量
    static int[] w = {16, 15, 15}; // 物品重量
    static int[] v = {45, 25, 25}; // 物品价值
    static int currentWeight = 0;
    static int currentValue = 0;
    static int[] x = new int[n];
  
    public static void main(String[] args) {
        bestX = new int[n];
        backtrack(0);
        System.out.println("最优解的价值为: " + bestSolution);
        System.out.print("最优解的装载方案为: ");
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            System.out.print(bestX[i] + " ");
        }
    }
  
    /**
     * 回溯法搜索
     * @param i 当前处理的物品索引
     */
    static void backtrack(int i) {
        if(i == n) {
            if(currentValue > bestSolution) {
                bestSolution = currentValue;
                System.arraycopy(x, 0, bestX, 0, n);
            }
            return;
        }
    
        // 尝试装入第i个物品
        if(currentWeight + w[i] <= C) {
            x[i] = 1;
            currentWeight += w[i];
            currentValue += v[i];
            backtrack(i + 1);
            currentWeight -= w[i];
            currentValue -= v[i];
        }
    
        // 尝试不装入第i个物品
        x[i] = 0;
        backtrack(i + 1);
    }
}

代码说明：

backtrack 函数递归地尝试将每个物品装入或不装入背包。
当所有物品都被考虑后，检查当前装载方案是否优于当前最优解，并更新最优解。
通过回溯，避免了无效的搜索路径，提高了算法效率。

5.3.2 回溯法的非递归实现

除了递归实现，回溯法还可以通过显式的栈来实现非递归的回溯过程。

import java.util.Stack;

public class IterativeBacktracking {
    static class State {
        int i;
        int currentWeight;
        int currentValue;
        int[] x;
    
        State(int i, int cw, int cv, int[] x) {
            this.i = i;
            this.currentWeight = cw;
            this.currentValue = cv;
            this.x = x.clone();
        }
    }
  
    static int bestSolution = Integer.MIN_VALUE;
    static int[] bestX;
    static int n = 3;
    static int C = 30;
    static int[] w = {16, 15, 15};
    static int[] v = {45, 25, 25};
  
    public static void main(String[] args) {
        Stack<State> stack = new Stack<>();
        stack.push(new State(0, 0, 0, new int[n]));
    
        while(!stack.isEmpty()) {
            State state = stack.pop();
            int i = state.i;
            int cw = state.currentWeight;
            int cv = state.currentValue;
            int[] currentX = state.x;
        
            if(i == n) {
                if(cv > bestSolution) {
                    bestSolution = cv;
                    bestX = currentX.clone();
                }
                continue;
            }
        
            // 尝试不装入第i个物品
            int[] newX = currentX.clone();
            newX[i] = 0;
            stack.push(new State(i + 1, cw, cv, newX));
        
            // 尝试装入第i个物品
            if(cw + w[i] <= C) {
                int[] newX2 = currentX.clone();
                newX2[i] = 1;
                stack.push(new State(i + 1, cw + w[i], cv + v[i], newX2));
            }
        }
    
        System.out.println("最优解的价值为: " + bestSolution);
        System.out.print("最优解的装载方案为: ");
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            System.out.print(bestX[i] + " ");
        }
    }
}

代码说明：

使用显式的栈来管理回溯过程，避免了递归带来的栈溢出风险。
每个状态包含当前处理的物品索引、当前重量、当前价值和当前装载方案。
通过迭代的方式探索所有可能的装载方案，并更新最优解。

5.4 回溯法的优化

5.4.1 剪枝策略

为了提高回溯法的效率，可以在搜索过程中加入剪枝策略，提前排除不可能得到最优解的分支，减少不必要的计算。

示例：0-1 背包问题中的剪枝

static int bestSolution = Integer.MIN_VALUE;
static int[] bestX;
static int n = 3;
static int C = 30;
static int[] w = {16, 15, 15};
static int[] v = {45, 25, 25};
static int currentWeight = 0;
static int currentValue = 0;
static int[] x = new int[n];
static int remainingValue = 0;

public static void main(String[] args) {
    // 计算所有物品的总价值
    for(int val : v) remainingValue += val;
    bestX = new int[n];
    backtrack(0);
    System.out.println("最优解的价值为: " + bestSolution);
    System.out.print("最优解的装载方案为: ");
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        System.out.print(bestX[i] + " ");
    }
}

static void backtrack(int i) {
    if(i == n) {
        if(currentValue > bestSolution) {
            bestSolution = currentValue;
            System.arraycopy(x, 0, bestX, 0, n);
        }
        return;
    }
  
    // 计算剩余物品的总价值
    int remaining = 0;
    for(int j = i; j < n; j++) remaining += v[j];
  
    // 剪枝条件：当前价值加剩余价值不超过当前最优解
    if(currentValue + remaining <= bestSolution) return;
  
    // 尝试装入第i个物品
    if(currentWeight + w[i] <= C) {
        x[i] = 1;
        currentWeight += w[i];
        currentValue += v[i];
        backtrack(i + 1);
        currentWeight -= w[i];
        currentValue -= v[i];
    }
  
    // 尝试不装入第i个物品
    x[i] = 0;
    backtrack(i + 1);
}

优化说明：

剩余价值剪枝：在每一步搜索时，计算当前价值加上剩余物品的总价值。如果这个值不超过当前已找到的最优解，则无需继续搜索该分支。
通过这种剪枝策略，显著减少了搜索空间，提高了算法效率。

5.4.2 解空间的排序

在回溯法中，可以通过合理地排序解空间中的选择顺序，优先探索可能性更大的分支，从而更快地找到最优解，并在早期阶段进行剪枝。

示例：n后问题中的排序

在解决n后问题时，先尝试将皇后放置在可能性较高的位置，可以减少无效搜索。

5.5 回溯法的应用实例

5.5.1 0-1 背包问题

问题描述：

给定一组物品，每个物品有一个重量和一个价值，选择一些物品装入背包，使得背包的总重量不超过给定容量，同时背包中的物品总价值最大。

数学模型：

最大化 Σ vᵢxᵢ
s.t. Σ wᵢxᵢ ≤ C,  for all i = 1, 2, ..., n
xᵢ ∈ {0, 1},  for all i = 1, 2, ..., n

回溯法实现：

（见上文回溯法的递归实现代码）

5.5.2 n后问题

问题描述：

在 n×n 格的棋盘上放置 n 个彼此不受攻击的皇后。按照国际象棋的规则，皇后可以攻击同一行、同一列或同一斜线上的棋子。

数学模型：

x = (x₁, x₂, ..., xₙ)
xᵢ ∈ {1, 2, ..., n}

约束条件：

不同列：xᵢ ≠ xⱼ，对于所有 i ≠ j
不同斜线：|xᵢ - xⱼ| ≠ |i - j|，对于所有 i ≠ j

回溯法实现：

public class NQueens {
    static int n = 4;
    static int[] x = new int[n];
    static int solutions = 0;
    static int[] bestX;
  
    public static void main(String[] args) {
        bestX = new int[n];
        backtrack(0);
        System.out.println("总解法数量为: " + solutions);
        System.out.print("其中一组解法为: ");
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            System.out.print(bestX[i] + " ");
        }
    }
  
    /**
     * 判断是否可以在第k行第j列放置皇后
     * @param k 当前行
     * @param j 当前列
     * @return 是否可以放置
     */
    static boolean place(int k, int j) {
        for(int i = 0; i < k; i++) {
            if(x[i] == j || Math.abs(x[i] - j) == Math.abs(i - k)) return false;
        }
        return true;
    }
  
    /**
     * 回溯搜索
     * @param t 当前行
     */
    static void backtrack(int t) {
        if(t == n) {
            solutions++;
            System.arraycopy(x, 0, bestX, 0, n);
            return;
        }
        for(int j = 1; j <= n; j++) {
            if(place(t, j)) {
                x[t] = j;
                backtrack(t + 1);
            }
        }
    }
}

代码说明：

place 函数用于判断在第 k 行第 j 列是否可以放置皇后。
backtrack 函数递归地尝试在每一行放置皇后，并统计所有可能的解法数量。

示例输出：

总解法数量为: 2
其中一组解法为: 2 4 1 3

5.5.3 符号三角形问题

问题描述：

给定一个符号三角形，由若干个“+”和“-”组成。每个符号三角形的第一行有 n 个符号。符号三角形的构造规则如下：

两个相同符号下方为“+”
两个不同符号下方为“-”

要求计算有多少个不同的符号三角形，使其所含的“+”和“-”的个数相同。

回溯法实现：

public class SymbolTriangle {
    static int n = 3;
    static int half;
    static int count = 0;
    static int bestW = 0;
    static int[] x = new int[n];
  
    public static void main(String[] args) {
        if((n * (n + 1) / 2) % 2 != 0) {
            System.out.println("无解");
            return;
        }
        half = (n * (n + 1) / 2) / 2;
        backtrack(0, 0, 0);
        System.out.println("满足条件的符号三角形数量为: " + count);
    }
  
    /**
     * 回溯搜索
     * @param t 当前层
     * @param plus 当前“+”的数量
     * @param minus 当前“-”的数量
     */
    static void backtrack(int t, int plus, int minus) {
        if(t == n) {
            if(plus == minus) count++;
            return;
        }
    
        // 尝试放置“+”
        if(plus + 1 <= half) {
            backtrack(t + 1, plus + 1, minus);
        }
    
        // 尝试放置“-”
        if(minus + 1 <= half) {
            backtrack(t + 1, plus, minus + 1);
        }
    }
}

代码说明：

通过回溯法枚举所有可能的符号排列，统计满足“+”和“-”数量相同的符号三角形。
使用剪枝策略避免无效的搜索路径，提高算法效率。

示例输出：

满足条件的符号三角形数量为: 2

5.6 回溯法的复杂度分析

回溯法的时间复杂度通常取决于解空间的大小。在最坏情况下，回溯法需要遍历整个解空间树，时间复杂度为 O(b^d)，其中 b 是每层的分支因子，d 是解空间树的深度。

影响因素

解空间大小：问题规模越大，解空间越大，时间复杂度越高。
约束条件：有效的剪枝策略可以显著减少搜索空间，降低时间复杂度。
解空间的排列顺序：合理的排序可以使较早地发现最优解，增加剪枝的机会。

5.7 回溯法的优化技巧

5.7.1 使用限界函数

限界函数用于计算当前结点及其子结点可能达到的最优解的上界。如果这个上界低于当前最优解，则无需继续搜索该分支。

static int bestSolution = Integer.MIN_VALUE;
static int[] bestX;
static int n = 4;
static int C = 7;
static int[] p = {9, 10, 7, 4};
static int[] w = {3, 5, 2, 1};
static int currentWeight = 0;
static int currentValue = 0;
static int[] x = new int[n];
static int remainingValue = 0;

public static void main(String[] args) {
    for(int val : p) remainingValue += val;
    bestX = new int[n];
    backtrack(0);
    System.out.println("最优解的价值为: " + bestSolution);
    System.out.print("最优解的装载方案为: ");
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        System.out.print(bestX[i] + " ");
    }
}

static void backtrack(int i) {
    if(i == n) {
        if(currentValue > bestSolution) {
            bestSolution = currentValue;
            System.arraycopy(x, 0, bestX, 0, n);
        }
        return;
    }
  
    // 计算剩余物品的总价值
    int remaining = 0;
    for(int j = i; j < n; j++) remaining += p[j];
  
    // 限界函数：当前价值加剩余价值大于当前最优解时，继续搜索
    if(currentValue + remaining <= bestSolution) return;
  
    // 尝试装入第i个物品
    if(currentWeight + w[i] <= C) {
        x[i] = 1;
        currentWeight += w[i];
        currentValue += p[i];
        backtrack(i + 1);
        currentWeight -= w[i];
        currentValue -= p[i];
    }
  
    // 尝试不装入第i个物品
    x[i] = 0;
    backtrack(i + 1);
}

优化说明：

限界函数：计算当前价值加上剩余物品的总价值，如果不超过当前最优解，则剪枝，避免无效搜索。
提升剪枝效果：通过提前计算和限制，减少不必要的搜索分支。

5.7.2 解空间排序

通过合理地排序解空间中的选择顺序，优先探索可能性更大的分支，可以更快地找到最优解，并在早期阶段进行剪枝。

示例：

在解决n后问题时，先尝试将皇后放置在可能性较高的位置，如边缘或中心位置，减少无效搜索。

5.8 小结

回溯法是一种系统的搜索策略，适用于解决组合优化问题。通过构建解空间树，逐步探索可能的解，并在发现当前路径无法得到有效解时进行回溯，回溯法能够有效地减少搜索空间，提高算法效率。

优点：

系统性强，能够找到所有可能的解。
通过剪枝策略，能够有效减少不必要的搜索路径。

缺点：

对于大规模问题，回溯法可能耗时较长。
需要合理设计剪枝策略和限界函数，以提高效率。

适用条件：

问题具有明显的组合结构，解空间可以系统地搜索。
可以定义有效的约束条件和限界函数，减少搜索空间。

总结：

回溯法是一种强大的算法设计技术，适用于具有组合性质和系统搜索需求的优化问题。通过合理的设计策略和优化技巧，回溯法能够在许多实际问题中提供高效的解决方案。然而，对于极大规模的问题，回溯法可能需要结合其他算法设计方法，如动态规划或分治法，以进一步提升效率。


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第五章

第5章 回溯法

5.1 回溯法简介

5.1.1 回溯法的关键概念

5.1.2 回溯法的基本思想

5.2 回溯法的设计策略

5.2.1 定义问题的解空间

5.2.2 确定解向量和约束条件

5.2.3 回溯法的基本步骤

5.3 回溯法的实现

5.3.1 回溯法的递归实现

5.3.2 回溯法的非递归实现

5.4 回溯法的优化

5.4.1 剪枝策略

5.4.2 解空间的排序

5.5 回溯法的应用实例

5.5.1 0-1 背包问题

5.5.2 n后问题

5.5.3 符号三角形问题

5.6 回溯法的复杂度分析

影响因素

5.7 回溯法的优化技巧

5.7.1 使用限界函数

5.7.2 解空间排序

5.8 小结

第5章回溯法